余弦定理

课    题：余弦定理

教材分析：

本节内容选自人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节,属于三角函数领域的知识.在此之前学生已经学习过了勾股定理、平面向量、正弦定理等相关知识,这为本节内容的学习起着铺垫作用。

学情分析：

学生已经学习了解直角三角形及三角函数的有关内容，对解直角三角形、三角函数及向量有一定的了解，上节课又学习了正弦定理的相关内容，对正弦定理的探究过程有一定的掌握，对三角形的边角关系有了较深的认识。但学生还会遇到一些难题，学生创造力较弱，看待问题不够深入，对余弦定理的探究过程有一定的难度。

教学目标

知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点

余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

教学难点

勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

●教学过程

Ⅰ.课题导入

                                                   C

如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,             b          c

已知a,b和C，求边c                                                

A         c        B

(图1．1-4)

Ⅱ.讲授新课

[探索研究]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。                     A

如图1．1-5，设，，，那么，则            

               C          B

从而                               (图1．1-5)

同理可证        

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即              

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

[例题分析]

例1．在ABC中，已知，，，求b及A

⑴解：∵

=cos

=

=

∴

求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

⑵解法一：∵cos

∴

解法二：∵sin

又∵＞

＜

∴＜，即＜＜

∴

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

例2．在ABC中，已知，，，解三角形

（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）

解：由余弦定理的推论得：

cos

；

cos

；

Ⅲ.课堂练习

第8页练习第1（1）、2（1）题。

[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）

Ⅳ.课时小结

（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

Ⅴ.课后作业

①课后阅读：课本第9页[探究与发现]

②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。

课后反思：

   在本节课的教学过程中，始终遵循学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者的基本原则，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课主要采用讲授法、启发法、练习法、小组合作、自主探究等教学方法。突出重点，条理清晰，紧凑合理。各项活动的安排也注重互动、交流，最大限度的调动学生参与课堂的积极性、主动性。让学生在自主探索的过程中学习余弦定理的主要内容和应用。https://math.sqnu.edu.cn/sfrz/zc